Ableitung |x| bzw. |x|^3 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
eine ziemlich peinliche Frage! Aber ich stehe wohl gerade auf mehr als nur einem Schlauch. Ich möchte [mm] f(x)=(|x|)^3 [/mm] ableiten.
Das macht man ja mit der Kettenregel.
Da komme ich auf [mm] 3|x|^2 [/mm] * 1 also [mm] f'(x)=3|x|^2
[/mm]
und dann auf f''(x) = 6|x|
Ist das so richtig?
Eine weitere Ableitung gibt es ja nicht, weil in Punkt 0 nicht differenzierbar.
Denke ich jetzt total falsch?
Gruß
anna
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Hallo,
> eine ziemlich peinliche Frage!
Ich finde die Frage hochinteressant und nicht peinlich - viele würden einfach darüber hinwegsehen!
Aber ich stehe wohl gerade
> auf mehr als nur einem Schlauch. Ich möchte [mm]f(x)=(|x|)^3[/mm]
> ableiten.
> Das macht man ja mit der Kettenregel.
> Da komme ich auf [mm]3|x|^2[/mm] * 1 also [mm]f'(x)=3|x|^2[/mm]
> und dann auf f''(x) = 6|x|
> Ist das so richtig?
> Eine weitere Ableitung gibt es ja nicht, weil in Punkt 0
> nicht differenzierbar.
>
> Denke ich jetzt total falsch?
Du solltest erstmal mittels Differentialquotienten überprüfen, ob $f(x) = [mm] (|x|)^{3}$ [/mm] überhaupt in 0 differenzierbar ist. Eigentlich ist dass nämlich nicht so (zumindest nicht nach der Kettenregel, denn dafür müsste ja auch die innere Funktion |x|, in 0 differenzierbar sein).
Nun gilt aber zum Glück für x = 0:
[mm] $\frac{f(0+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \frac{|0+h|^{3}-|0|^{3}}{h} [/mm] = [mm] \frac{|h^{3}|}{h} \to [/mm] 0$
(für [mm] h\to [/mm] 0).
Dasselbe gilt auch noch für f'.
!! Deine Ableitungen oben sind allerdings nicht ganz richtig: Die Ableitung von |x| für [mm] x\not= [/mm] 0 ist [mm] \frac{x}{|x|} [/mm] oder [mm] \frac{|x|}{x} [/mm] wahlweise, nicht einfach 1. Das wirst du nochmal überprüfen müssen oben.
Wie du aber trotzdem richtig festgestellt hast, kannst du ab der zweiten Ableitung nicht mehr differenzieren.
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
danke für Deine Antwort!
> Du solltest erstmal mittels Differentialquotienten
> überprüfen, ob [mm]f(x) = (|x|)^{3}[/mm] überhaupt in 0
> differenzierbar ist. Eigentlich ist dass nämlich nicht so
> (zumindest nicht nach der Kettenregel, denn dafür müsste
> ja auch die innere Funktion |x|, in 0 differenzierbar
> sein).
>
> Nun gilt aber zum Glück für x = 0:
>
> [mm]\frac{f(0+h)-f(x)}{h} = \frac{|0+h|^{3}-|0|^{3}}{h} = \frac{|h^{3}|}{h} \to 0[/mm]
>
> (für [mm]h\to[/mm] 0).
>
> Dasselbe gilt auch noch für f'.
OK, gut, dass Du das nochmal geschrieben hast!
> !! Deine Ableitungen oben sind allerdings nicht ganz
> richtig: Die Ableitung von |x| für [mm]x\not=[/mm] 0 ist
> [mm]\frac{x}{|x|}[/mm] oder [mm]\frac{|x|}{x}[/mm] wahlweise, nicht einfach
> 1. Das wirst du nochmal überprüfen müssen oben.
Ich wusste, dass ich auf dem Schlauch bin. Logisch. Das wars, was mir ein komisches Gefühl gegeben hat. Es ist dann natürlich f'(x) = [mm] 3*(|x|)^2 [/mm] * [mm] \bruch{x}{|x|} [/mm] = [mm] \bruch{3*|x| |x| x}{|x|}=3|x|x [/mm] ...so müsste es nun stimmen oder?
Gruß
Anna
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Hallo,
> > !! Deine Ableitungen oben sind allerdings nicht ganz
> > richtig: Die Ableitung von |x| für [mm]x\not=[/mm] 0 ist
> > [mm]\frac{x}{|x|}[/mm] oder [mm]\frac{|x|}{x}[/mm] wahlweise, nicht einfach
> > 1. Das wirst du nochmal überprüfen müssen oben.
>
> Ich wusste, dass ich auf dem Schlauch bin. Logisch. Das
> wars, was mir ein komisches Gefühl gegeben hat. Es ist
> dann natürlich f'(x) = [mm]3*(|x|)^2[/mm] * [mm]\bruch{x}{|x|}[/mm] =
> [mm]\bruch{3*|x| |x| x}{|x|}=3|x|x[/mm] ...so müsste es nun stimmen
> oder?
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
> > f'(x) = [mm]3*(|x|)^2[/mm] * [mm]\bruch{x}{|x|}[/mm] =
> > [mm]\bruch{3*|x| |x| x}{|x|}=3|x|x[/mm] ...so müsste es nun stimmen
> > oder?
>
> Genau
Aber jetzt überlege ich die 2. Ableitung, ich glaube die stimmt doch sogar von mir? Aber wie komme ich da nun drauf? Mit Produktregel denke ich, aber irgendwie klappt das nicht.
3 ( 1 * |x| + [mm] x*\bruch{x}{|x|} [/mm] )= [mm] 3(|x|+\bruch{x*x}{|x|}) [/mm] Habe ich soweit schon einen Denkfehler?
Danke,
Anna
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Hallo Stefan,
ach ja, dabei hatte ich hier auf meinem Blatt schon beide Varianten gerechnet, hab die eine aber wieder verworfen - anstatt mal weiter zu rechnen. Klar. Es ist:
3 ( 1 * |x| + [mm]x*\bruch{|x|}{x}[/mm] )= [mm]3(|x|+\bruch{x*|x|}{x})[/mm]
= 3(|x|+|x|) = 3(2|x|) = 6|x|
> Du hast keinen Denkfehler, bedenke einfach, dass du statt
> [mm]\frac{x}{|x|}[/mm] auch [mm]\frac{|x|}{x}[/mm] schreiben kannst.
Kann man eigentlich beides nehmen - egal wann. Einfach so, wie es einen am besten passt?
Danke,
Anna
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Hallo,
> Hallo Stefan,
>
> ach ja, dabei hatte ich hier auf meinem Blatt schon beide
> Varianten gerechnet, hab die eine aber wieder verworfen -
> anstatt mal weiter zu rechnen. Klar. Es ist:
>
> 3 ( 1 * |x| + [mm]x*\bruch{|x|}{x}[/mm] )= [mm]3(|x|+\bruch{x*|x|}{x})[/mm]
> = 3(|x|+|x|) = 3(2|x|) = 6|x|
Genau
> > Du hast keinen Denkfehler, bedenke einfach, dass du statt
> > [mm]\frac{x}{|x|}[/mm] auch [mm]\frac{|x|}{x}[/mm] schreiben kannst.
>
> Kann man eigentlich beides nehmen - egal wann. Einfach so,
> wie es einen am besten passt?
Für $x [mm] \not= [/mm] 0$ ja. (Ansonsten kann man es ja gar nicht hinschreiben).
Dann ist nämlich für x < 0:
[mm] $\frac{x}{|x|} [/mm] = [mm] \frac{x}{-x} [/mm] = -1 = [mm] \frac{-x}{x} [/mm] = [mm] \frac{|x|}{x}$
[/mm]
(x > 0 genauso.)
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Di 09.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Stefan,
DANKE!
Gruß
Anna
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